Понятие потенциала

поскольку мы получили сумму циркуляций, каждая из которых равна 0. Начало отсчёта векторов положения произвольно (может находиться за пределами расположения системы зарядов).

§14.2. Понятие потенциала

Если векторное поле — силовое, то физический смысл скалярного произведения — элементарная работа dА силового поля на перемещении материальной точки, чьё силовое поле мы рассматриваем. В механике доказывалось, то работа потенциального силового поля на перемещении (рис.14.2)

Рис.14.2

выражается через сброс энергии положения или потенциальной энергии материальной точки в её силовом поле:

.

Как Вы помните, потенциальная энергия определялась через отрицательную работу сил поля от некой точки пространства O, произвольно избранной в качестве начала отсчёта потенциальной энергии (W(О)=0).

,

где В — произвольная точка пространства, заполненного полем. При этом контур L, по которому материальная точка движется в потенциальном поле от точки О до точки В (то есть по которому производится интегрирование), может быть любым. В механике потенциальную энергию, как и любую другую энергию, принято обозначать буквой Е. В электромагнетизме энергия обозначается буквой W, поскольку Е «занята» на обозначении электрической напряжённости.

В случае поля электростатических сил, то есть сил, действующих со стороны зарядов-источников на пробный заряд q, его потенциальная энергия в этом поле

Дадим определение: потенциал в данной точке пространства , заполненного электростатическим полем, совпадает с потенциальной энергией , которую имел бы в этом поле точечный единичный положительный пробный заряд, если его поместить в данную точку. «Идеология» этого определения та же, что и в определении напряжённости. То есть слово «совпадает» связано с тем, что потенциал − это характеристика поля самого по себе, а потенциальная энергия пробного заряда в поле характеризует и поле, и пробный заряд. Иными словами,

Потенциальная энергия единичного положительного пробного заряда

.

Тогда по определению потенциала

.

Эта формула позволяет определить потенциал поля в любой точке пространства по известному полю напряжённости. Здесь точка О выбрана началом отсчёта потенциала (j(О)=0). Значит, потенциальная энергия пробного заряда в поле источников имеет вид:

Отсюда можно получить физическую размерность потенциала: . Потенциал в СИ измеряется в вольтах.

Работа сил поля на перемещении пробного заряда определяется по закону изменения его потенциальной энергии:

Þ ,

где − сброс потенциала или напряжение.

Из формулы связи потенциала и напряжённости следует формула разности потенциалов:

и выражение элементарного изменения или дифференциала потенциала:

.

§14.3. Связь между векторным полем напряжённости и скалярным полем потенциала

Очевидно, что распределение в пространстве потенциала данного электростатического поля с точки зрения математики представляет скалярное поле . Оказывается, последняя формула предыдущего параграфа указывает на то, что векторное поле напряжённости однозначно определяется заданием скалярного поля потенциала . Значит, данное электростатическое поле одинаково успешно может быть представлено как векторным полем , так и скалярным полем . Покажем это.