Двумерная плоская задача ту

12.) Двумерная плоская задача ТУ.

А.)Плоская деформация.

Деформация называется плоской, если перемещения всех точек тела могут происходить только в двух направлениях в одной плоскости и не зависят от координаты, перпендикулярной к этой оси.

Примером плоской деформации может служить напряженно – деформированное состояние, возникающее в длинной прямой плотине или длинном своде подземного тоннеля.

Напряжение:

)

Дифференциальные уравнения равновесия Навье:

Условия на поверхности:

l, m – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности контура – компоненты объемных сил и интенсивности внешних поверхностных нагрузок на оси x и y

Уравнения Коши:

Уравнения неразрывности деформация Сен–Венана:

Формулы закона Гука:

Упругие постоянные для закона Гука:

Б.)Обобщенное плоское напряженное состояние.

Плоское напряженное состояние возникает в том случае, когда длина тела мала, по сравнению с двумя другими размерами. В этом случае она называется толщиной. Напряжения в теле действуют только в двух направлениях в координатоной плоскости xOy и не зависят от координаты z. Примером такого тела пожжет служить тонкая пластина толщиной h, нагруженная по боковой поверхности силами, параллельными плоскости пластины и равномерно распределенными по ее толщине.

Напряженное состояние в пластине:

Основания пластины будут искривляться, так как появляются перемещения по оси z:

Основные уравнения плоской деформации: дифференциальные уравнения равновесия, условия на поверхности, уравнения Коши и уравнения неразрывности деформаций сохраняют такой же вид.

Формулы закона Гука примут следующий вид:

Изменятся только значения постоянных.

В плоской задаче теории упругости восемь неизвестных:

–две компоненты вектора перемещений и u

–три компоненты тензора напряжений , ,

–три компоненты тензора деформаций ,,

Для решения задачи используют восемь уравнений:

–три уравнения Коши

–три формулы закона Гука

–два дифференциальных уравнения равновесия.

Кроме того, полученные деформации должны подчиняться уравнению неразрывности деформаций, а на поверхности тела должны выполняться условия равновесия.

В.)Решение плоской задачи ТУ в перемещениях.( http://www. strmech. susu. ac. ru/sopromat-file/BookIkr/BookIkr. pdf стр.323)

С помощью равенства исключим деформации из уравнений .

Полученные уравнения подставим в

Полученные уравнения являются условиями равновесия, записанными в перемещениях.

Определив перемещения из полученных уравнений, напряжения и деформации можно найти из уравнений, полученных ранее, дифференцируя соответствующим образом функции u и v.

Г.) Решение плоской задачи ТУ в напряжениях. Уравнение Леви.

Решение плоской задачи в напряжениях сводиться к отысканию трех неизвестных функций:

Подставляем в уравнение выражения деформаций из закона Гука

С помощью уравнения равновесия исключим из полученного уравнения касательное напряжение .Для этого дифференцируем первое из уравнений по x, а второе по y, затем их складываем и получаем:

Подставляя выражение для смешанной производной от касательного напряжения в полученное уравнение, получаем условие неразрывности деформаций, записанное через нормальные напряжения:

Это уравнение, полученное для плоского напряженного состояния, носит название уравнения Мориса Леви. Уравнения равновесия вместе с граничными условиями и уравнением неразрывности дают систему уравнений, которых достаточно для полного определения напряжений.