| Электромагнитные волны

Электромагнитные волны

Представим, что в некоторой точке внутри безграничной непроводящей среды создано каким-либо способом электрическое поле . Если нет зарядов, поддерживающих это поле, то оно будет исчезать. Но убывающее поле , согласно уравнений Максвелла, вызывает возникновение магнитного поля:

Поскольку поле убывает, то плотность тока смещения направлена противоположно и силовые линии магнитного поля направлены по часовой стрелке.

Поскольку нет постоянных токов, поддерживающих , то последнее будет в свою очередь исчезать, и вызовет вихревое электрическое поле:

Силовые линии будут направлены против часовой стрелки. Поле уничтожит первоначальное поле в начальной точке, но зато проявится в соседней точке 1. Исчезая в точке 1, электрическое поле приведет к появлению магнитного поля , которое будет иметь такое же направление, как и поле . Поле уничтожит поле и обнаружится в более удаленной точке. Таким образом, вместо первоначального поля получим электрическое и магнитное поля, взаимно связанные друг с другом и распространяющиеся в пространстве, то есть электромагнитную волну.

Для вакуума основные уравнения Максвелла принимают вид:

; ;

причем ,

Описываемые этими уравнениями поля не связаны ни с зарядами, ни с токами проводимости и являются самостоятельно существующей реальностью. Это одна из форм существования материи – электромагнитное поле. В дифференциальной форме:

; ;

Видно, что векторы напряженностей и индукций поля имеют вихревой характер, то есть линии всех полей замкнуты на себя. Общее решение уравнений затруднительно. Поэтому рассмотрим одномерный случай: оба поля будут изменяться только вдоль одной оси (например ) и времени (плоское поле). Фронтом волны называют поверхность, во всех точках которой колебания имеют одинаковую фазу. Рассматриваемая одномерная задача соответствует плоским электромагнитным волнам. Производные и обращаются в ноль. Уравнения Максвелла примут вид:

;

Из 2-х последних уравнений: , . Эти уравнения описывают не зависящие от времени постоянные поля. Они нас не интересуют. Можно положить .Рассмотрим два уравнения:

; ;

;

Следовательно:

Исключая можно получить:

Величина – скорость распространения электромагнитной волны в вакууме. Тогда:

Полученные уравнения называют волновыми уравнениями. Простейшим решением рассматриваемых волновых уравнений являются функции:

, ,

где – частота волны, – волновое число, и – начальные фазы. После подстановки в уравнения:

получаем:

Необходимо:

; ;

Перемножив:

;

= 377 Ом – волновое сопротивление вакуума.

Умножив: , получим уравнение плоской электромагнитной волны в векторном виде:

, ,

– длина волны.

Векторы и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему.

Плоскость, проходящая через электрический вектор и, в данном случае, ось OZ называется плоскостью поляризации линейно поляризованной волны.

Энергия электромагнитных волн

Электромагнитные волны переносят определенную энергию. Объемная плотность энергии электромагнитного поля в вакууме:

Поскольку , то

где – скорость электромагнитных волн в вакууме.

Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны называется вектором Умова-Пойнтинга (иногда вектором Пойнтинга):

Вычислим энергию , переносимую электромагнитной волной через площадку за время :

– объем параллелепипеда

Следовательно, энергия, проходящая через площадку S в единицу времени:

или

В случае плоской линейно поляризованной монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси OZ, напряженность поля

Соответственно:

Значение в каждой точке периодически колеблется. Среднее за период значение пропорционально квадрату амплитуды:

Излучение электромагнитных волн

Для образования электромагнитных волн необходимо создать в пространстве быстро изменяющееся электрическое поле (ток смещения) и соответственно быстро изменяющееся магнитное поле. Для этого используется открытый колебательный контур.

Свободные электромагнитные волны были впервые получены на опыте Генрихом Герцем в 1888 году. Использовался открытый вибратор, состоящий из двух одинаковых металлических стержней, разделенных искровым промежутком. При пробойном значении напряжения в пробойнике проскакивает искра, замыкавшая обе половины вибратора, и в нем возникали затухающие электрические колебания высокой частоты. Для обнаружения электромагнитных волн Герц применял вибраторы различной формы: Т – миниатюрная газоразрядная трубка. Размеры излучающего и принимающего вибраторов одинаковы, чтобы возник резонанс. По свечению газоразрядной трубки Т обнаруживались электромагнитные волны.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

Электрический колебательный контур

В цепи, содержащей индуктивность L (катушку) и емкость C (конденсатор), могут возникать электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи, электрические и магнитные поля) изменяются периодически. Поэтому такая цепь называется колебательным контуром.

Колебания в контуре можно вызвать либо сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд, либо возбудив в индуктивности ток (например, путем выключения внешнего магнитного поля, пронизывавшего витки катушки). Рассмотрим первый способ.

1 2 3 4 5

Пусть отключенный от индуктивности конденсатор присоединен к источнику напряжения. Это приводит к возникновению на обмотках разноименных зарядов +q и – q. Между обкладками возникает электрическое поле, максимальная энергия которого равна . После отключения от источника напряжения конденсатор емкость начнет разряжаться и в контуре потечет Электрический ток. Энергия электрического поля будет уменьшаться, но зато будет увеличиваться энергия возникающего магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность. Максимальное значение этой энергии . Поскольку активное сопротивление контура равно нулю, то полная энергия, слагающаяся из энергий электрического и магнитного полей, не расходуется на нагревание проводов и будет оставаться постоянной. Поэтому в момент, когда напряжение на конденсаторе, а, следовательно, и энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия магнитного поля, а значит и ток достигают наибольшего значения. В дальнейшие моменты времени магнитное поле будет исчезать, поскольку нет токов, его поддерживающих. Исчезающее поле вызовет ток самоиндукции, который в соответствии с законом Ленца будет стремиться поддержать ток разряда конденсатора и будет, следовательно, направлен так же, как и последний. Поэтому конденсатор будет перезаряжаться и между его пластинами появится электрическое поле противоположного, по сравнению с начальным, направления. Затем те же процессы протекают в обратном направлении, после чего система переходит в исходное состояние. После чего весь цикл повторяется снова. В ходе процесса периодически изменяются (колеблются) заряд на обкладках, напряжение на конденсаторе и сила тока, текущего через индуктивность. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей. Воспроизведем сказанное на рисунке, сопоставив рассматриваемому процессу процесс колебания пружинного маятника.

Из сопоставления электромагнитных колебаний следует, что энергия электрического поля аналогична потенциальной энергии упругой деформации, а энергия магнитного поля аналогична кинетической энергии. Индуктивность аналогична массе ; величина, обратная емкости аналогична жесткости пружины . Заряду соответствует изменение координаты центра колеблющегося груза от положения равновесия , а силе тока – проекция скорости центра груза .

Собственные колебания

Гармонические колебания

Электрические колебания, происходящие под действием процессов, развивающихся в самом колебательном контуре, получили название собственных электрических колебаний. Рассмотренные выше колебания являются, очевидно, собственными. Рассмотрим количественно собственные колебания в контуре. Будем считать, что электрические процессы в контуре квазистационарны. То есть мгновенное значение силы тока i одно и тоже в любом месте контура. Поэтому мгновенные значения силы переменного тока должны удовлетворять всем законам, установленным для постоянного тока.

Согласно закону Ома для участка цепи 1LR2 имеем:

;

где – мгновенные значения силы тока в цепи, потенциалы на обкладках конденсатора и алгебраические суммы ЭДС, приложенных на рассматриваемом участке цепи. Но на участке цепи приложена только ЭДС самоиндукции

Поэтому записанное уравнение примет вид:

Если обозначить заряд первой обкладки конденсатора , то сила тока в цепи равна:

Знак минус введен, потому что положительному направлению тока i, принятому при составлении уравнения, выражающему закон Ома, соответствует убывание положительного заряда первой обкладки конденсатора .

Напряжение: .

После подстановки получим:

, или .

Если сопротивление R = 0 (что соответствует рассматриваемому контуру), то:

; или , где .

Полученное дифференциальное уравнение описывает колебательное движение. Решением этого уравнения является функция:

Следовательно: заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону. Частота называется собственной частотой контура. Для периода колебаний (период связан с частотой соотношением ) получаем: так называемая.

– формула Томсона.

Разность потенциалов обкладок конденсатора также изменяется по гармоническому закону:

, где

Видно, что сила тока отстает от колебаний напряжения на обкладках конденсатора по фазе на . Сопоставление формул для q, U, i показывает, что когда модуль силы тока достигает наибольшего значения, модули заряда и напряжения обращаются в нуль и наоборот. Это соотношение между зарядом и током установлены ранее, основываясь на энергетических соображений. Из формул: