Колебания в однородных цепочках

Обращение матриц больших размеров — сложная задача, поэтому чаще используют другой метод — разлагают искомое решение по собственным колебаниям системы. Для этого амплитудный вектор разлагают по -векторам коэффициентов распределения амплитуды собственных колебаний системы:

Теперь задача сводится к отысканию неизвестных коэффициентов Bs. Внешнюю силу разложим следующим образом:

где fs — коэффициенты разложения. Коэффициенты fs можно найти, используя условие ортогональности (8.12). Умножая (8.23) слева скалярно на , запишем коэффициенты fs в виде

Подставим теперь выражения (8.22) и (8.23) в уравнение (8.21), тогда

Умножим уравнение (8.25) слева на , используя условие ортогональности нормальных колебаний вида (8.12), получим выражение для коэффициентов Bs:

.

Отсюда, с помощью формулы (8.22), находим амплитуды вынужденных колебаний:

Из формулы (8.26) видно, что при w ® ws, амплитуда вынужденных колебаний всех координат стремится к бесконечности, т. е. происходит резонансное возрастание амплитуды. Резонанса на частоте ws не будет, если вектор внешней силы ортогонален s-му нормальному колебанию, когда в соответствии с соотношением (8.24) получается fs = 0.

При наличии затухания расчёт колебаний для систем с n степенями свободы становится ещё более громоздким. Для диссипативных систем с затуханием типа вязкого трения можно вве­сти матрицу рассеяния энергии и решать матричное уравнение

Собственные колебания, соответствующие , линейной диссипативной системы (8.27) можно искать в виде

Подставляя (8.28) в (8.27), получим уравнение степени 2n для определения l

Так как уравнение (8.29) имеет действительные коэффициенты, то все его комплексные корни будут попарно сопряжёнными, т. е.

, ,

где ds и ws — вещественные числа. Для диссипативной системы, не содержащей внутренних источников энергии, все ds < 0. Общий вид свободных колебаний:

Для вынужденных колебаний по-прежнему разлагаем силу по векторам вида (8.23), а амплитуду вынужденных колебаний — по векторам нормальных колебаний вида (8.22). Тогда

Таким образом, при совпадении частоты внешней силы с одной из собственных частот системы наблюдается резонанс. Однако амплитуда вынужденных колебаний при резонансе остается ограниченной, как и при резонансе в диссипативной системе с одной степенью свободы.

8.4. Колебания в однородных цепочках

Анализ колебаний в системе с n степенями свободы значительно упрощается, если система представляет собой цепочку последовательно включенных однородных элементов. Рассмотрение собственных колебаний в такой цепочке представляет интерес в связи с тем, что цепочка является одномерным аналогом кристаллической решётки, состоящей из одинаковых атомов.

Рассмотрим колебания в однородной цепочке на примере полосового фильтра, изображённого на рис. 75. Выберем в качестве независимых координат заряды ql, прошедшие к моменту времени t через поперечное сечение соответствующих катушек. Выражения для кинетической и потенциальной энергии такого фильтра имеют вид:

, ,

тогда уравнение Лагранжа (1.30) может быть записано так:

Уравнение (8.32) справедливо для любого звена цепочки, кроме первого и последнего. Заряды в первом и (N + 1)-м звеньях цепочки определяются граничными условиями. Рассмотрим случай системы с разомкнутыми концами, т. е. q1 = 0, qN + 1 = 0.

Будем искать решение системы ДУ (8.32) в виде

.

Подстановка в уравнение (8.32) даёт разностные уравнения:

Здесь n2 = 1/LC + 2/LC0 — квадрат парциальной частоты одного звена, a = 1/LC0 — коэффициент связи. Решение системы разностных уравнений (8.33) можно записать следующим образом:

.

После подстановки решения в (8.33) получим

,

или

Величина b представляет собой сдвиг фаз на одном элементе цепочки. Поэтому уравнение (8.34) связывающее частоту колебаний w и сдвиг фаз b, называется дисперсионным уравнением цепочки.

Действительным фазовым сдвигам в уравнении (8.34) отвечает условие:

Каждому значению частоты w из интервала (8.35) соответствуют два одинако­вых по модулю и разных по знаку значения параметра b дисперсионного урав­нения (8.34). Таким образом, общее решение системы разностных уравнений (8.33) имеет вид

Для нахождения собственных частот колебаний цепочки воспользуемся граничными условиями

, .

Видно, что эта система совместна, если exp(2jNb) = 1, или b = sp/N и B = —Aexp(-2jb). Используя соотношение (8.34), найдём собственные частоты

Так как цепочка с разомкнутыми концами (q1 = 0, qN + 1 = 0) представляет собой систему с N — 1 степенями свободы, то у неё N — 1 различных собственных частот ws, s = 1,…, N — 1, лежащих в полосе прозрачности системы (8.35). Значения s = 0 и s = N дают критические частоты

, .

Из уравнения (8.36) можно найти амплитуды Qns:

Таким образом, собственные колебания цепочки из N + 1 одинаковых элементов с разомкнутыми концами могут быть описаны как

Здесь параметры Ds и js определяются начальными условиями. Собствен­ные колебания n-го звена цепочки представляют собой суперпозицию N — 1 нормальных колебаний. Распределение амплитуд по координатам для каждой собственной частоты происходит по синусоидальному закону. При w = w1 колебания во всех элементах цепочки происходят в фазе, и на длине цепочки укладывается одна полуволна. С увеличением номера s количество полуволн, укладывающихся вдоль цепочки, растёт. На s-й собственной частоте (w = ws) число полуволн равно s.

При анализе вынужденных колебаний предположим, что на одном конце цепочки действует гармоническое напряжение u0(t) = U0exp(jwt), а другой конец нагружен произвольным сопротивлением Zн. Используем Т-разбиение, т. е. представим цепочку в виде последовательно соединённых Т-образных четырёхполюсников (рис.76).

Запишем для n-го звена уравнения Кирхгофа:

Будем решать эту систему методом комплексных амплитуд, положив

Здесь Z1 — полное сопротивление последовательно соединённых индуктивности L/2 и конденсатора 2C, а Z2 — полное сопротивление конденсатора C0.

Решение системы разностных уравнений (8.41) ищем в виде

, ,

где g в общем случае может быть комплексной величиной: g = d + jb. Подстановка предполагаемого решения в (8.41) даёт два линейных однородных уравнения относительно комплексных амплитуд A и B:

Система уравнений (8.42) имеет нетривиальное решение, когда её детерминант равен нулю, что приводит к условию:

Последнее выражение даёт связь между частотой внешней силы w и величиной g, определяющей характер процесса.

Рассмотрим отдельно две возможности: |1 + Z1/Z2| £ 1, |1 + Z1/Z2| > 1. Для рассматриваемой схемы неравенство |1 + Z1/Z2| £ 1 справедливо, если частота w лежит в пределах

В этом случае g — чисто мнимая величина, причём существуют два различающихся знаками значения: g1 = jb, g2 = —jb. Общее решение системы (8.41) при этом имеет вид:

Для каждого значения g, удовлетворяющего условию (8.43), из уравнения (8.42) можно найти отношение комплексных амплитуд A и B:

, .

Таким образом, решения (8.45) можно записать в виде

Каждое из слагаемых системы (8.46) можно рассматривать как бегущую волну, фаза в которой меняется не непрерывно, а скачком на b при переходе от n-го звена цепочки к n + 1-му.

Мы предположили, что входным звеном цепочки, к которому приложено внешнее напряжение, служит звено с номером n = 0. В (8.46) первые слагаемые соответствуют волне, бегущей от источника, а вторые — волне, отражённой от нагрузки. Амплитуды этих волн можно определить из граничных условий

, .

Отсюда легко найти отношение A2/A1 на конце цепочки, то есть при n = N:

.

Вводя обозначение Z0 = jZ2sinb — волновое сопротивление цепочки, перепишем в виде

Если сопротивление нагрузки Zн равно Z0, то, как видно из последнего соотношения, отражённая волна в цепочке отсутствует. Для рассматриваемой цепочки (рис. 76)

Если Zн ¹ Z0, то наряду с волной, бегущей от источника, существует и отраженная волна. Решение (8.46) при этом имеет вид:

Отношение комплексной амплитуды отраженной волны к комплексной ампли­туде падающей волны называется коэффициентом отражения в n-м звене:

При Zн ¹ Z0 лишь часть энергии поглощается в нагрузке, а остальная часть воз­вращается к источнику энергии.

Для короткозамкнутой цепочки (Zн = 0) и разорванной цепочки (Zн ® ¥) из уравнения (8.50) следует, что |Rn| = 1, и в цепочке существует чисто стоячая волна. Так, для Zн = 0

, где ;

для Zн ® ¥

, где .

Для чисто стоячей волны поток энергии от источника к нагрузке равен нулю. Амплитуда A1 здесь определяется из граничного условия u0(t) = U0exp(jwt).

Кроме волнового сопротивления практически важны следующие параметры цепочки:

а) входное сопротивление, определяемое как отношение напряжения к току на входе линии:

;

б) коэффициент передачи цепочки, т. е. отношение напряжения выходного сигнала к напряжению входного:

.

В согласованном режиме при Zн = Z0 коэффициент передачи |K| = 1.

Рассмотрим теперь второй возможный случай: |1 + Z1/Z2| > 1. Это неравенство справедливо либо при b = 0 и chd > 1, либо при b = p и ch(d + ip) = -chd < -1. В этом случае выделяются две области частот. Область частот, для которых b = 0 и chd > 1, располагается между нулём и частотой w1, т. е.

.

В этом диапазоне значений w решение (8.41) принимает вид:

.

Первое слагаемое здесь характеризует колебатель­ный процесс, при котором все звенья колеблются в фазе, но амплитуда колеба­ний экспоненциально уменьшается вдоль цепочки в направлении увеличения номера, а второе — отраженную вол­ну. При большом числе звеньев (dN >> 1) процесс затухнет раньше, чем колебания достигнут нагрузки. При выполнении этого условия отражённую волну (второе слагаемое) можно не учитывать. В этом случае коэффициент передачи для цепочки

падает с ростом числа звеньев N, т. е. достаточно длинная цепочка не пропускает колебания с частотой w < w1.

Область частот, для которых b = p и |chd| > 1, простирается от w2 до бесконечности:

.

Решение для этой области частот имеет вид:

.

прозрачности (8.44), и отфильтровывающий частоты w < w1 и w > w2. Частоты w1 и w2 являются граничными частотами фильтра.

8.5. Параметрические системы, соотношения Менли-Роу

Системы с n степенями свободы находят применение в параметрических и автоколебательных устройствах. Параметрическая система с n степенями свободы состоит из нелинейной реактивности и линейной цепи с n контурами, настроенными на комбинационные частоты двух внешних сигналов, действующих на систему. Менли и Роу показали, что между мощностями, выделяющимися в каждом из контуров, существуют определённые соотношения. Эти соотношения позволяют определять максимальные коэффициенты усиления и преобразования сложной параметрической системы.

Рассмотрим поведение нелинейной ёмкости C(u) под действием двух источников напряжения с частотами w1 и wн. Как показано в пункте 7.3, в спек­тре тока появятся комбинационные частоты wml = mwн + lw1 > 0. Запишем за­кон сохранения числа квантов накачки wн в системе. Если генератор накачки отдаёт в систему мощность P10, то в единицу времени поступает квантов накачки. Эти кванты расходуются на образование колебаний с комбинационными частотами. Генератор накачки не является единственным в схеме источником квантов накачки. Дело в том, что при образовании кванта комбинационной частоты wml = mwн + lw1 > 0 при m < 0 одновременно происходит выделение квантов накачки. Образование одного кванта частоты wm,l сопровождается поглощением l квантов частоты w1 и выделением |m| квантов накачки wн. так как . Естественно, что при этом l > |m|wн/w1. Полное число квантов накачки, выделяющихся в системе при выделении мощности Pml < 0 на комбинационной частоте равно . Суммируя по всем возможным m < 0 и по всем возможным l (l > |m|wн/w1), а также прибавляя число квантов, приходящих от генератора накачки, получим общее число квантов, выделяющихся в системе:

Все эти кванты расходуются на образование комбинационных частот с m > 0.

Рассмотрим комбинационное колебание с частотой wml = mwн + lw1, для которого m > 0. Число l в этом случае может быть любым числом, большим —mwн/w1. При образовании одного кванта частоты wml затрачивается т квантов накачки, так как . Полное число квантов частоты wml, выделяющееся в системе за единицу времени, равно . На образование этих квантов в единицу времени затрачивается квантов накачки. Суммируя по всем m > 0 и l > —mwн/w1, по­лучим

Отметим, что в выражении (8.53) необходимо исключить слагаемое с m = 1 и l = 0, так как оно уже вошло в формулу (8.52) как . Закон сохранения чис­ла квантов накачки теперь принимает вид:

.

Сменив знаки у индекса суммирования во втором слагаемом, включив слагаемое в сумму как член с m = 1 и l = 0, и умножив всю сумму на , получим первое соотношение Менли-Роу:

Здесь добавлено нулевое слагаемое с m = 0.

Аналогичным образом можно получить и второе соотношение Менли-Роу, представляющее собой закон сохранения квантов сигнала

Отметим, что оба соотношения Менли-Роу получены в предположении, что реактивный нелинейный элемент не имеет потерь.

В каждое из соотношений Менли-Роу входят члены, соответствующие всем частотам схемы, но в (8.54) отрицательными явля­ются частоты с m < 0, а в соотношении (8.55) — с l < 0, поэтому формально в этих соотношениях все суммы можно писать от -¥ до ¥, так как Pml = P(-m)(-l).

Из соотношений Менли-Роу (8.54) и (8.55) следует, что независимо от вида нелинейности и нагрузки распределение мощности по комбинационным частотам определяется только величиной и знаками комбинационных частот.

Пусть система с п степенями свободы состоит из идеальных фильтров Ф, настроенных на все возможные комбинационные частоты, и одинаковых сопро­тивлений R, а к фильтрам, настроенным на частоты w1 и wн, подключены, соот­ветственно, источники сигнала и накачки (рис. 78). Простейший пример — ре­генеративный усилитель с одним дополнительным контуром, настроенным на частоту wн — w1. Тогда в соотношения Менли-Роу войдут три мощности: P10 — мощность накачки, P01 — мощность сигнала и P1(-1) — мощность, выделяемая в дополнительном контуре:

Естественно, что поступающая от генератора накачки мощность положительна, т. е. P10 > 0. Тогда из (8.56) следует, что

, , .

Эти неравенства показывают, что только часть мощности накачки поступает в дополнительный контур. Остальная часть, как видно из (8.56), идет в источник сигнала (P01 < 0), т. е. расходуется на его усиление. Система представляет собой регенера­тивный усилитель, охваченный положительной обратной связью, склонный к самовозбуждению и имеющий значительные шумы.

Нерегенеративный усилитель получается, если дополнительный контур настроен на частоту wн + w1 (преобразование вверх). Поэтому в соотношения Менли-Роу (8.54) и (8.55) будут входить мощности P10, P01 и мощность, рассеиваемая в дополнительном контуре P11. Эти соотношения примут вид:

Из цепи накачки в систему поступает мощность P10 > 0. Тогда из (8.57) следует, что P11 = —P10(wн + w1)/wн < 0, P01 = —P11w1/(wн + w1) > 0.

Это озна­чает, что на управление нелинейной емкостью расходуется энергия как от источника накачки, так и от источника сигнала. В таком случае схема не способна к самовоз­буждению. Максимальное усиление по мощности такого усилителя — преобразователя частоты — равен