Метод последовательных приближений

2.2. Метод последовательных приближений

Неизохронность колебаний математического маятника связана с нелинейностью описывающего их уравнения (2.7). Общих методов решения нелинейных ДУ не существует, но есть несколько приближенных методов. Дальше мы рассмотрим один из таких методов — метод последовательных приближений.

Сначала проделаем на примере маятника, а потом приведём к общему виду. Разложим нелинейное слагаемое sin(x) в уравнении (2.7) в ряд Тейлора, ограничиваясь вторым слагаемым

здесь a = -1/6.

Зависимость периода колебаний от амплитуды (неизохронность колебаний) определяется коэффициентом a. Если a = 0 колебания чисто изохронные и период T = 2p/w0.

Дальше воспользуемся теоремой из теории ДУ, что решение ДУ непрерывно зависит от параметра. Так как есть период, зависящий от w0 то можно сказать, что w0 — это параметр системы, который совпадает с частотой линейных колебаний. Введём параметр w — частота действующих (свободных) колебаний w = 2p/T(a). Мы знаем, что при a = 0, она совпадает с w0, и непрерывно зависит от a, т. е. мы можем представить её в виде ряда по степеням a. Исторически сложилось (да и проще) раскладывать w2:

Считая нелинейность малой, мы ограничиваемся только первым слагаемым, содержащим a. Подставим (2.11) в (2.10), тогда, сохраняя только первые степени по a, получим

Решение x(t) уравнения (2.12) тоже непрерывно зависит от параметра a, причём при a = 0

.

В силу непрерывности решения по a, можно записать, ограничиваясь только первой степенью a, что при a ¹ 0,

.

Подставим это решение в (2.12), пренебрегая степенями a со второй включительно

,

и, учитывая уравнение нулевого приближения для x0

,

получим окончательное уравнение первого приближения

.

В нашем случае, выбирая начальные условия в виде t = 0, x = a, , находим решение уравнения нулевого приближения

.

Уравнение первого приближения соответственно будет

У нас получилось линейное уравнение, в правой части которого стоят гармонические силы. Получилось, что на систему с собственной частотой w действуют два гармонических процесса с частотами w и 3w. Так как потерь нет, то колебания совершаются с бесконечной амплитудой (на частоте w резонанс), поэтому, чтобы такого не было, необходимо положить

,

тогда уравнение первого приближения примет вид:

Из предыдущего соотношения находим, что . Тогда, подставив его в (2.11), получим

,

следовательно

Решение уравнения первого приближения будет иметь вид:

,

где С1 и С2 — произвольные постоянные. Тогда полное решение (2.10) в первом приближении запишется следующим образом:

.

Значения произвольных постоянных можно найти, требуя от этого решения, чтобы оно удовлетворяло тем же начальным условиям, т. е. , тогда окончательно с учётом формулы (2.15)

Из найденного соотношения видно, что колебания не изохронные и в них присутствуют высшие гармоники. Для математического маятника частота свободных колебаний убывает с ростом их амплитуды.

2.3. Свободные колебания в резонансном контуре с нелинейной ёмкостью без затухания Вопрос 5

Из последнего уравнения найдём uak:

В качестве обобщённых координат возьмём напряжение на индуктивности, т. е. u = E + uak. Если u = 0, значит к варикапу приложено управляющее напряжение. В этом случае мы можем выразить константы через известные величины. Получается, что q = 0, Cd = C0, тогда

.

Подставим эти выражения в (2.18)

,

тогда для обобщённой координаты получаем

Заметим, что полярность управляющего напряжения E выбрана так, чтобы варикап находился в состоянии обратного смещения, чтобы конденсатор Cр не влиял на работу. Выберем Cp >> Cd, тогда при колебаниях напряжение на Cp не будет сильно меняться и тогда можно считать, что напряжение, приложенное к катушке будет u. В таком случае для контура можно записать второй закон Кирхгофа в виде

Тогда уравнение для фазовой траектории будет выглядеть так:

Построим фазовый портрет для этой системы методом изоклин. Найдём для этого семейства фазовых траекторий изоклины, т. е. линии с постоянным наклоном. Уравнение изоклин:

,

отсюда, с учётом (2.22), для нашей системы получается

по сравнению с линейным членом q на колебательный процесс системе можно пренебречь.

Проделаем то же самое не графически, а аналитически. Воспользуемся методом последовательных приближений. Для этого опять перепишем уравнение (2.20), но уже в форме уравнения (2.10):

.

Опять действуем точно также: установившуюся частоту разложим в ряд

.

Также можно записать, ограничиваясь только первой степенью g0,

.

Уравнение нулевого приближения в данном случае имеет вид

;

его решение при начальных условиях будет таким:

.

Первое приближение имеет вид:

.

Подставляя решение для q0, получаем

.

Заметим, на систему с резонансной частотой w воздействует внешняя сила с той же самой частотой, т. е. для секулярных решений получается следующее условие: g1 = 0. Таким образом, мы приходим к выводу, что поправка первого порядка отсутствует, поэтому будем раскладывать до следующего параметра, т. е. для частоты, с учётом равенства нулю g1, получаем

.

Соответственно

.

Тогда уравнение второго приближения, примет вид

.

Или, подставив решения для q0 и q1, получим

.

Чтобы исчезли секулярные слагаемые, нужно потребовать, чтобы , тогда мы можем найти зависимость частоты от амплитуды:

.

Итак, мы рассмотрели систему с одной степенью свободы без диссипации. Перейдём теперь к следующему уровню.

Тема 3. Свободные колебания в диссипативных системах с одной степенью свободы Вопрос 6

В неконсервативных системах полная энергия не сохраняется, поэтому уравнение фазовых траекторий уже не может иметь вид уравнения (2.5). Мы можем записать его с учётом соотношения (1.35), где введена функция Рэлея, которая описывает убыль энергии. Функция Рэлея:

; 

Так как функция F(x, y) описывает убыль энергии, то можно сказать, что функция W(t) определяет запас колебательной энергии системы. В консервативной системе она бы сохранялась. Естественно, что для автономных диссипативных систем dW/dt < 0, т. е. энергия с течением времени уменьшается.

Для простейшей диссипативной системы уравнение (2.5) принимает вид:

; . Наташа Автор Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку. Бесплатное Электронная техника зачет Реакции деления ядра. цепная реакция деления Период полураспада Ядерные силы. модели атомного ядра Ядерная физика формулы Рефераты по физике сдают здесь МГМИМО БГУ ГродноГу Другие статьи Заказ решения задач по физике Решение задач по физике с примерами Подготовка курсовых и дипломных работ по физике Скачать готовые работы по физике Изучение физики в лучших ВУЗах России Ядерная физика формулы Электронная техника зачет Ядерные силы. модели атомного ядра Вопросы по физике атомного ядра и элементарных частиц Реакции деления ядра. цепная реакция деления Период полураспада Пробеги и тормозные способности альфа-частиц в алюминии Основы механики методичка — точность проведения замеров Взаимодействие тяжелых заряженных частиц с веществом Основы механики методичка — погрешности Основы механики методичка Введение в механику сплошной среды Тензор деформации грина Возможные неисправности электромагнитных расходомеров Скорость и ускорение мсс Главные направления и главные деформации Непрерывные отображения мсс Вторая часть билетов по атомной физике Введение в механику сплошной среды — примеры Закон движения сплошной среды Определение резонансных частот колебаний колонны бурильных труб. Интенсивность напряжения Тензор напряжений Вопросы по атомной физике 2015 Элементы робототехники Похожая информация Плоские электромагнитные волны Правило смещения Основные характеристики дифракции Фраунгофера поперечные волны Закон сохранения энергии для свободной частицы Гипотеза мирового эфира. опыты майкельсона и морли Зависимость задерживающего потенциала от материалов катодов ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ Водосливы с тонкой стенкой Распродажа дипломных Скидка 30% по промокоду Diplom2020 Подпишись на наш паблик в ВК Получи промокод на скидку 20% Нужна работа?  Заказать дипломную работу у наших партнеров