ВУЗы по физике Готовые работы по физике Как писать работы по физике Примеры решения задач по физике Решить задачу по физике онлайн

Метод последовательных приближений


2.2. Метод последовательных приближений

Неизохронность колебаний математического маятника связана с нелинейностью описывающего их уравнения (2.7). Общих методов решения нелинейных ДУ не существует, но есть несколько приближенных методов. Дальше мы рассмотрим один из таких методов — метод последовательных приближений.

Сначала проделаем на примере маятника, а потом приведём к общему виду. Разложим нелинейное слагаемое sin(x) в уравнении (2.7) в ряд Тейлора, ограничиваясь вторым слагаемым

,

(2.10)

здесь a = -1/6.

Зависимость периода колебаний от амплитуды (неизохронность колебаний) определяется коэффициентом a. Если a = 0 колебания чисто изохронные и период T = 2p/w0.

Дальше воспользуемся теоремой из теории ДУ, что решение ДУ непрерывно зависит от параметра. Так как есть период, зависящий от w0 то можно сказать, что w0 — это параметр системы, который совпадает с частотой линейных колебаний. Введём параметр w — частота действующих (свободных) колебаний w = 2p/T(a). Мы знаем, что при a = 0, она совпадает с w0, и непрерывно зависит от a, т. е. мы можем представить её в виде ряда по степеням a. Исторически сложилось (да и проще) раскладывать w2:

(2.11)

Считая нелинейность малой, мы ограничиваемся только первым слагаемым, содержащим a. Подставим (2.11) в (2.10), тогда, сохраняя только первые степени по a, получим

.

(2.12)

Решение x(t) уравнения (2.12) тоже непрерывно зависит от параметра a, причём при a = 0

.

В силу непрерывности решения по a, можно записать, ограничиваясь только первой степенью a, что при a ¹ 0,

.

Подставим это решение в (2.12), пренебрегая степенями a со второй включительно

,

и, учитывая уравнение нулевого приближения для x0

,

получим окончательное уравнение первого приближения

.

В нашем случае, выбирая начальные условия в виде t = 0, x = a, , находим решение уравнения нулевого приближения

.

Уравнение первого приближения соответственно будет

.

(2.13)

У нас получилось линейное уравнение, в правой части которого стоят гармонические силы. Получилось, что на систему с собственной частотой w действуют два гармонических процесса с частотами w и 3w. Так как потерь нет, то колебания совершаются с бесконечной амплитудой (на частоте w резонанс), поэтому, чтобы такого не было, необходимо положить

,

тогда уравнение первого приближения примет вид:

.

(2.14)

Из предыдущего соотношения находим, что . Тогда, подставив его в (2.11), получим

,

следовательно

.

(2.15)

Решение уравнения первого приближения будет иметь вид:

,

где С1 и С2 — произвольные постоянные. Тогда полное решение (2.10) в первом приближении запишется следующим образом:

.

Значения произвольных постоянных можно найти, требуя от этого решения, чтобы оно удовлетворяло тем же начальным условиям, т. е. , тогда окончательно с учётом формулы (2.15)

.

(2.16)

Из найденного соотношения видно, что колебания не изохронные и в них присутствуют высшие гармоники. Для математического маятника частота свободных колебаний убывает с ростом их амплитуды.

2.3. Свободные колебания в резонансном контуре с нелинейной ёмкостью без затухания Вопрос 5

Рассмотрим параллельный резонансный контур, представленный на рис. 19. Здесь в качестве нелинейной ёмкости используется варикап, причём ёмкость разделительного конденсатора Сp много больше ёмкости варикапа Cd. Известен закон изменения ёмкости p-n перехода:

Рис. 19. Колебательный контур с нелинейной ёмкостью.

.

(2.17)

Проинтегрируем (2.17), тогда получим:

.

Из последнего уравнения найдём uak:

.

(2.18)

В качестве обобщённых координат возьмём напряжение на индуктивности, т. е. u = E + uak. Если u = 0, значит к варикапу приложено управляющее напряжение. В этом случае мы можем выразить константы через известные величины. Получается, что q = 0, Cd = C0, тогда

.

Подставим эти выражения в (2.18)

,

тогда для обобщённой координаты получаем

, где .

(2.19)

Заметим, что полярность управляющего напряжения E выбрана так, чтобы варикап находился в состоянии обратного смещения, чтобы конденсатор Cр не влиял на работу. Выберем Cp >> Cd, тогда при колебаниях напряжение на Cp не будет сильно меняться и тогда можно считать, что напряжение, приложенное к катушке будет u. В таком случае для контура можно записать второй закон Кирхгофа в виде

Рис. 20. График потенциальной энергии.

.

(2.20)

Уравнение колебаний имеет вид (2.1), что позволяет с учётом (2.19) ввести потенциальную энергию в виде

.

(2.21)

Примерный вид полученной зависимости показан на рис. 20. Перепишем уравнение (2.20) в следующем виде

; .

Тогда уравнение для фазовой траектории будет выглядеть так:

, где .

(2.22)

Построим фазовый портрет для этой системы методом изоклин. Найдём для этого семейства фазовых траекторий изоклины, т. е. линии с постоянным наклоном. Уравнение изоклин:

,

отсюда, с учётом (2.22), для нашей системы получается

Рис. 21. Построение фазовых траекторий методом изоклин.

.

Изоклины, исходя из полученного уравнения, по сути, параболы. Коэффициент ki определяет крутизну. Он может быть как отрицательным, так и положительным, соответственно изоклины будут находиться выше оси или ниже оси абсцисс. Если ki = 0, парабола выльется в вертикальную линию q = 0, а если ki = ¥, то в горизонтальную y = 0. На рис. 21 показано построение фазовых траекторий методом изоклин. Замкнутость фазовых траекторий подтверждает, что мы имеем дело с консервативной системой. Из фазового портрета видно, что при малых амплитудах колебаний, как и в случае идеального маятника, фазовые траектории близки к эллипсам, т. е. малые движения в нелинейной системе близки к гармоническим колебаниям в нелинейной системе. Это связано с тем, что при малых значениях q влиянием нелинейного члена g0q2

по сравнению с линейным членом q на колебательный процесс системе можно пренебречь.

Проделаем то же самое не графически, а аналитически. Воспользуемся методом последовательных приближений. Для этого опять перепишем уравнение (2.20), но уже в форме уравнения (2.10):

.

Опять действуем точно также: установившуюся частоту разложим в ряд

.

Также можно записать, ограничиваясь только первой степенью g0,

.

Уравнение нулевого приближения в данном случае имеет вид

;

его решение при начальных условиях будет таким:

.

Первое приближение имеет вид:

.

Подставляя решение для q0, получаем

.

Заметим, на систему с резонансной частотой w воздействует внешняя сила с той же самой частотой, т. е. для секулярных решений получается следующее условие: g1 = 0. Таким образом, мы приходим к выводу, что поправка первого порядка отсутствует, поэтому будем раскладывать до следующего параметра, т. е. для частоты, с учётом равенства нулю g1, получаем

.

Соответственно

.

Тогда уравнение второго приближения, примет вид

.

Или, подставив решения для q0 и q1, получим

.

Чтобы исчезли секулярные слагаемые, нужно потребовать, чтобы , тогда мы можем найти зависимость частоты от амплитуды:

.

Итак, мы рассмотрели систему с одной степенью свободы без диссипации. Перейдём теперь к следующему уровню.

Тема 3. Свободные колебания в диссипативных системах с одной степенью свободы Вопрос 6

В неконсервативных системах полная энергия не сохраняется, поэтому уравнение фазовых траекторий уже не может иметь вид уравнения (2.5). Мы можем записать его с учётом соотношения (1.35), где введена функция Рэлея, которая описывает убыль энергии. Функция Рэлея:

; 

Так как функция F(xy) описывает убыль энергии, то можно сказать, что функция W(t) определяет запас колебательной энергии системы. В консервативной системе она бы сохранялась. Естественно, что для автономных диссипативных систем dW/dt < 0, т. е. энергия с течением времени уменьшается.

Для простейшей диссипативной системы уравнение (2.5) принимает вид:

; .

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Другие статьи


Распродажа дипломных

Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

Пройди опрос и получи промокод