Распределение энергии равновесного излучения по частотам

Закон распределения интенсивности равновесного излучения в расчете на единичный интервал частот можно записать также для величины энергии в единице объема u(w). С интенсивностью I(w) она связана соотношением I(w)=с u(w). Так же и закон Стефана-Больцмана можно записать для энергии в единице объема U(T): F=c×U(T). При этом полная энергия E равновесного излучения в ящике может быть записана так:

(23)

2.4 Итоги

Квантовый расчет показал, что катастрофического распределения энергии по электромагнитным модам не происходит. Возбужденными оказываются далеко не все, а Из=за этого на излучение приходится только некоторая часть тепловой энергии. При температурах, с которыми мы имеем дело в быту, большая часть полной тепловой энергии приходится на кинетическую энергию движения молекул, и только небольшая часть приходится на излучение.

Пример. В ящике объемом 1 л при температуре 300 К и атмосферном давлении находится гелий. Его раскалили до 1000 К. Чему равна кинетическая энергия движения молекул и чему равна полная энергия равновесного излучения?

Решение. При нагревании давление увеличится до . Энергия теплового движения молекул равна Энергия излучения Как видно, при температуре 1000 К подавляющая часть тепловой энергии газа — это кинетическая энергия молекул, а не энергия излучения. Электромагнитное “трение” при этой температуре играет малую роль в распределении энергии.

Тепловая энергия, приходящаяся на излучение, является степенной функцией температуры с показателем степени 4, в то время как тепловая энергия движения молекул зависит от температуры лишь линейно. Это обстоятельство существенно сказывается при высоких температурах. Так при температуре газа в миллион градусов энергия, приходящаяся на излучение, имеет тот же порядок, что и полная кинетическая энергия молекул.

Распределение энергии излучения по частотам, описываемое выражением (17), прекрасно согласуется с опытными данными. Отсюда можно сделать вывод, что идеи, положенные в основание теории равновесного излучения не противоречат эксперименту.

2.5 Решение задач

Задача 1. При какой температуре вероятность электромагнитной волне с частотой w=5×1014 Гц быть в первом возбужденном состоянии меньше вероятности быть в основном состоянии в два раза? (ln2»0,693).

Решение. Отношение вероятностей системе, находящейся в состоянии равновесия, иметь энергию E1 (энергия основного состояния) и E2 (энергия первого возбужденного состояния) равна
(24)

По условию поэтому из (24) получаем
(25)
Данная в условии частота соответствует желтому свету. Результат решения говорит, что даже при высокой температуре заполненность первого уровня для желтых фотонов меньше заполненности основного уровня в два раза.

Задача 2. Астрофизики обнаружили фоновое излучение, существующее не только в галактике, но и во внегалактическом пространстве, о котором предполагают, что это остаточное излучение (реликтовое излучение) после великого взрыва, в результате которого возникла вселенная. Это излучение изотропно и распределено по частотам, как тепловое излучение тела, имеющего температуру 3 К. К какой части шкалы электромагнитных волн относится максимум интенсивности реликтового излучения?

Задача 3. Чему равна средняя энергия электромагнитной волны излучения пламени (T=1000 К) с частотой, приходящейся на максимум спектральной плотности?