Собственные колебания распределённых систем конечной длины

Для гармонического во времени процесса уравнения (9.9) запишутся следующим образом:

, ,

где Z и Y — комплексные последовательное сопротивление и параллельная утечка, U и I — комплексные амплитуды напряжения и тока. Из этих двух телеграфных уравнений получим уравнение для U

,

где

.

Его решение имеет вид:

,

причём постоянная распространения g в данном случае является комплексной величиной. Представим её так:

.

Тогда мы вправе записать

.

Теперь и падающая и отражённая волны содержат множитель, характеризующий затухание. Поскольку и мнимая, и действительная части g являются нелинейными функциями частоты, то и фазовая скорость волны v = w/k зависит от частоты. Это явление называется дисперсией. Волновое сопротивление ли­нии с потерями тоже комплекснозначная функция частоты

.

9.2. Собственные колебания распределённых систем конечной длины

При исследовании колебательных процессов в распределённых системах конечной длины обычно используется метод Бернулли, т. е. решение разлагается по собственным функциям краевой задачи. Вид собственных функций существенно зависит от граничных условий, связывающих ток и напряжение или силу и смещение на границах системы.

Остановимся лишь на простейших случаях граничных условий, которые, однако, часто встречаются на практике.

Короткозамкнутому или разомкнутому концу соответствуют граничные условия вида

где y — ток (для разомкнутой линии) или напряжение (для замкнутой линии).

Более общий случай граничных условий осуществляется в электрической линии, нагруженной на конце ёмкостью C0. Для напряжения на этой ёмкости и заряда справедливо следующее

.

Подставляя это соотношение в телеграфное уравнение (9.1), для линии без потерь получим:

.

Для конденсатора, включенного вначале линии в сечении x = 0, получаем

.

Если на конце линии включена индуктивность L0, то граничные условия запишутся так:

, .

Объединяя рассмотренные выше типы граничных условий, получим общий вид граничных условий такого рода

Волновое уравнение (9.2) с граничными условиями вида (9.10) или (9.11) удобно решать методом разделения переменных (метод Бернулли). Положим y(x, t) = j(x)T(t), тогда общее решение имеет вид

Постоянные As и Bs определяются из начальных условий. Из решения (9.12) следует, что распределённые колебательные системы конечной длины имеют бесконечное множество собственных частот ws, каждой из которых соответствует определённая форма колебаний js.

Для двухпроводной линии, подставляя разложение (9.12) в волновое уравнение (9.2), получим:

Общее решение уравнения (9.13) имеет вид

.

Если линия короткозамкнута на конце, то граничные условия вида (9.10) дают B = 0, wsl/v = ps, т. е.

ws = psv/l, s = 1, 2, … — набор эквидистантных собственных частот, js(x) — собственные функции. Легко показать, что собственные функции, отвечающие различным собственным частотам, ортогональны:

Отметим, что ортогональность собственных (нормальных) колебаний — общее свойство распределенных систем и систем с многими степенями свободы.

Если система с распределёнными параметрами неоднородна, например, в середину длинной линии включен конденсатор, то эквидистантность собствен­ных частот нарушается, и собственные функции уже не синусоидальные, но их ортогональность (9.15) сохраняется. Пример такой системы — лазер. Активная среда, внесённая в резонатор Фабри-Перо (систему с распределёнными пара­метрами), нарушает эквидистантность собственных частот резонатора. Поэтому генерируемые моды становятся не синхронизируемыми.

9.3. Вынужденные колебания в распределённых системах

По аналогии с вынужденными колебаниями в системах с многими степе­нями свободы удобно раскладывать и вынуждающую силу, и вынужденные колебания по собственным функциям системы. Если частота внешней силы совпадает с одной из собственных частот системы, то происходит резонансное увеличение амплитуды колебаний.

Рассмотрим разомкнутую на концах двух­проводную линию с потерями, в которой действует распределённая внешняя сила. Подставляя в первое уравнение системы (9.9) , , получим

где L, C, R — постоянные погонные параметры линии.

Пусть линия разомкнута на обоих концах, т. е. q(0, t) = q(l, t) = 0. Разложим внешнюю силу в ряд на интервале 0 £ x £ l по собственным функциям вида (9.14) разомкнутой на концах линии

а коэффициенты разложения найдём, используя условие (9.15) ортогональности собственных функций:

Естественно искать решение уравнения (9.16) также в виде ряда по собственным функциям линии с разомкнутыми концами

Подставим (9.17) и (9.19) в исходное уравнение (9.16):

Получилась бесконечная система обыкновенных ДУ относительно Qn(t). Каждое из них имеет обычный вид колебательного уравнения для системы с одной степенью свободы, на которую действует внешняя сила Un(t). Уравнения независимы, и поэтому Qn(t) можно рассматривать как нормальные координаты системы. Число таких координат бесконечно. Если отсутствует какая-либо компонента внешней силы Un(t), то соответствующая координата Qn(t) совершает только свободное затухающее колебание.

Решение уравнений (9.20) может быть записано через интеграл Дюамеля:

Здесь обозначено: , , .

Для гармонического синхронного и синфазного внешнего воздействия Un(t) = Un0exp(jw0t) в установившемся режиме при t >> 1/d получаем

.

Суммируя по всем n, получим общее решение уравнения (9.20) в виде

Если частота внешнего воздействия w0 совпадает с одной из собственных частот системы wn, то наблюдается резонансное увеличение амплитуды.

В ча­стном случае, если гармоническое внешнее воздействие приложено в одной точке x = b, получаем:

,

где d(x) — дельта-функция. Определим коэффициенты разложения функции u0(x, t)

.

Общее решение в этом случае будет иметь вид

Нетрудно видеть, что если b = l/n, т. е. внешняя сила приложена к узлу, то q(x, t). Это явление аналогично ортогональности вынуждающей силы на од­ной из собственных частот системы и собственного колебания на этой частоте для системы с многими степенями свободы.

9.4. Лазер как автогенератор

Примером автоколебательной системы с распределенными параметрами является оптический квантовый генератор — лазер. Распределенное отрицатель­ное сопротивление в лазере создается активной средой с инверсной населенно­стью и существует в определенной полосе частот вблизи линии поглощения среды. Как правило, в пределах ширины линии люминесценции укладывается несколько собственных частот резонатора, поэтому лазер, в общем случае, генерирует ряд мод с частотами, близкими к собственным частотам резонатора.

Анализ работы лазера обычно проводится методом самосогласованного поля в полуклассическом приближении. Предполагается, что электромагнитное поле, воздействуя на активную среду, создает в ней поляризацию, которая, в свою очередь, является источником электромагнитного поля. При этом элек­тромагнитное поле описывают классическими уравнениями Максвелла, а поля­ризацию среды, определяющую отрицательное нелинейное сопротивление, рас­сматривают на квантовом уровне. При таком подходе поляризация среды зависит не от мгновенного значения напряженности поля, а от его амплитуды, то есть лазер является автогенератором с инерциальной нелинейностью, анало­гичным рассмотренному в пункте 6.2.

В простейшем случае оптического резонатора Фабри-Перро, образованного двумя плоскими зеркалами, расположенными на расстоянии l друг от дру­га, наибольшую добротность имеют аксиально симметричные моды колебаний. Электромагнитное поле таких колебаний медленно меняется в пространстве в направлении, параллельном зеркалам, а его поляризация сохраняется. Это по­зволяет ограничиться рассмотрением одномерного скалярного уравнения Мак­свелла, которое для проводящей немагнитной среды принимает вид

Будем считать, что величина s характеризует все виды потерь энергии в оптическом резонаторе.

Напряжённость электрического поля можно представить в виде ряда по собственным функциям нормальных мод резонатора

где kn = pn/l = 2p/ln — волновое число n-го нормального колебания. Такой вид нормальных колебаний соответствует граничным условиям E(0, t) = E(l, t) = 0, когда в точках z = 0 и z = l находятся зеркала с единичным коэффициентом от­ражения. Умножим уравнение (9.24) на sin(kmz) и проинтегрируем по z от 0 до l. Учитывая ортогональность собственных функций разложения (9.25) и гранич­ные условия, получим

где Qn — добротность резонатора на n-й моде, wn — частота n-й моды, Wn = pnc/l — собственная частота резонатора, Pn — пространственная фурье-компонента поляризации среды, равная

.

При достаточно высокой добротности резонатора и небольшой величины поляризации, когда лазер работает вблизи порога самовозбуждения, для реше­ния уравнения (9.26) можно использовать метод ММА. Будем искать решение (9.26) в виде

, ,

где En(t), jn(t) — медленно меняющиеся за период 2p/wn амплитуда и фаза n-го колебания, Cn(t) и Sn(t) — медленно меняющиеся компоненты поляризации. В си­лу инерциальной нелинейности активной среды можно считать, что компонен­ты поляризации являются нечётными функциями амплитуд колебаний вида

Уравнения (9.27) являются материальными уравнениями нелинейной ак­тивной среды, в них опущены колебания комбинационных частот, не попадаю­щие в полосы пропускания оптического резонатора. Коэффициенты уравнений (9.27) для двухуровневого газового лазера рассчитаны У. Лэмбом. С учетом этих соотношений укороченные уравнения для системы (9.26) принимают вид

Из уравнения (9.28), в частности, следует, что величина a0n определяет усиление активной среды на n-й моде колебаний для слабого сигнала. Поэтому условие самовозбуждения n-й моды можно записать в виде a0n > wn/(2Qn). При выполнении этого условия поступление энергии в систему превышает потери в резонаторе на соответствующей частоте.

Рассмотрим сначала случай возбуждения в системе только одной моды, единственной, для которой выполняется условие самовозбуждения. Уравнения (9.28) и (9.29) в этом случае принимают вид:

, .

Отсюда можно найти стационарную амплитуду и частоту генерации

, ,

где обозначено a = a0 — w/(2Q). Отметим, что амплитуда установившихся коле­баний E0 тем больше, чем больше поступление энергии в систему превышает по­тери в ней. Кроме того, E0 зависит от коэффициента нелинейности b, как это имеет место и в одноконтурном автогенераторе (см. пункт 6.2). Этот коэффициент определяет уменьшение инверсной населённости, связанное с насыщением активной среды, вызванным колебаниями генерируемой моды. При малой амплитуде частота генерации w отличается от собственной частоты резонатора на величину . Коэффициент s пропорционален разности между собственной частотой резонатора и частотой спектральной линии атомного перехода. Поэтому он создаёт линейное подтягивание генерируемой частоты к частоте атомного перехода. Нелинейное сла­гаемое даёт зависящее от амплитуды смещение частоты генерации.

Если усиление активной среды превышает потери для двух собственных частот оптического резонатора, то возможна одновременная генерация двух не­зависимых мод колебаний. В случае двухмодового режима укороченные уравнения (9.28) для амплитуд E1 и E2 принимают вид:

Здесь a1 = a01 — w1/(2Q1), a2 = a02 — w2/(2Q2) — коэффициенты, характеризующие превышение усиления над потерями для каждой из мод. Коэффициенты q12 и q21 определяют уменьшение инверсной населенности для каждой моды, вызванное колебаниями другой моды, т. е. эквивалентны коэффициентам связи.

Урав­нения (9.30) удобно переписать для квадратов амплитуд , :

Система уравнений (9.31) имеет четыре стационарных решения:

Первое решение соответствует отсутствию генерации, второе и третье — генера­ции одной моды. Четвертое решение описывает режим одновременной генера­ции двух мод.

Устойчивость стационарных решений можно определить стан­дартным методом, анализируя малые отклонения от стационарного состояния.

Коэффициенты b1 и b2 для активной среды всегда положительны. Если оба коэффициента a1 и a2 положительны, т. е. условия самовозбуждения выпол­нены для обеих мод, то режим покоя неустойчив. При a1/q12 > a2/b1 и a2/q21 < a1/b2 система генерирует одну моду с X = a1/b1, Y = 0. Вторая мода по­давляется модой с большим коэффициентом усиления. Если же a1/q12 > a2/b1 и a2/q21 > a1/b2, то в системе могут существовать обе моды колебаний. При сла­бой связи b1b2 > q12q21 происходит одновременная генерация обеих мод.

Ам­плитуды и частоты этих колебаний в стационарном режиме в силу соотношений (9.29) и (9.32) имеют вид

Из формулы (9.34), в частности, следует, что частота каждого из колебаний за­висит не только от его амплитуды, но и от амплитуды второго колебания.