Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
В пределе, когда размеры клина будут приближаться к нулю, рср x и рср n будут стремиться к значениям гидростатического давления в точке в направлениях оси Х-Рх и наклонной грани n – Pn, и вследствие этого при переходе к пределу при δх = 0 получаем: рх – рn = 0 или рх = рn.
Составив уравнение проекции сил на оси y и z, найдем, что ру = рп; рz = рn, откуда
Px = Py = Pz = Pn.. (3.2)
Последнее равенствопоказывает, что гидростатическое давление в точке покоящейся жидкости имеет значение, не зависящее от направления площадки, для которой оно вычислено.
Но гидростатическое давление в различных точках не будет одинаковым. Для разных точек давление будет являться непрерывной функцией координат.
3.2. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
(уравнения Леонарда Эйлера)
Целью вывода этих уравнений будет ответ на вопрос: какими по своей природе должны быть силы, под действием которых жидкость будет находиться в равновесии? Для вывода этих уравнений в жидкости, находящейся в покое, условно разместим систему координат и выделим элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами δx, δy, δz (рис.3.9).
Рис.3.9
Применим принцип отвердевания. В этом случае при рассмотрении тела в покое можно применить законы механики твердого тела, т. е. если тело находится в равновесии, то сумма проекций всех сил на соответствующие оси равна нулю:
ΣРх = 0; ΣРу = 0; ΣРz = 0. (3.3)
На выделенный объем действует массовая сила, вызванная ускорением J, проекции которого на соответствующие оси будут равны X, Y,Z, и поверхностные силы δРi.
Рассмотрим условие равновесия по оси Х. Допустим, на левую грань параллелепипеда действует элементарная сила δР1, на правую δР2:
ΣРх = δР1-δР2+ХδМ=0. (3.4)
Ввиду малости размеров граней параллелепипеда будем считать, что давление на каждую из них будет одинаковым и каким-то средним, тогда
(3.5)
Выразим давления и
через давление р в центре параллелепипеда.
Так как жидкость является сплошной средой (т. е. средой без пустот и переуплотнений), то изменение давления на каком-то элементарном перемещении является непрерывной функции координат:
, (3.6)
где — градиент гидростатического давления, т. е. частная производная от давления по оси Х.
Подставим выражение (3.6) в (3.5)6
Сократим на δх·δу·δz, т. е. на объем δW, и переходя к пределу:
. (3.7)
Аналогично рассуждая, но проектируя силы на оси Y и Z, получим еще два уравнения равновесия.
Общепринятая форма записи этих уравнений выглядит так:
(3.8)
Уравнения (3.8) представляют собой общие дифференциальные уравнения равновесия жидкости, из которых следует, что при перемещении в жидкости давление зависит от плотности и ускорения.
Для лучшего понимания смысла полученных уравнений и практического пользования удобнее вместо системы уравнений (3.8) получить одно эквивалентное им уравнение. Для этого левую и правую части уравнений умножим соответственно на dx, dу, dz и сложим
, (3.9)
где — частные дифференциалы давления; они по соответствующим осям определяют изменение (увеличение или уменьшение) давления при переходе на расстояние dx, dy, dz.
Так как гидростатическое давление есть функция только координат, выражение в скобках уравнения (3.9) представляет собой полный дифференциал гидростатического давления:
. (3.10)
в связи с этим получим одно дифференциальное уравнение для жидкости, находящейся в относительном покое:
. (3.11)
плотность жидкости ρ в уравнении (3.11) можно принять постоянной величиной, поэтому уравнение (3.11) может иметь смысл только в том случае, если его правая часть также является полным дифференциалом. Для этого необходимо, чтобы существовала некая функция U = f(Х, Y,Z), частные производные которой по осям x, y,z были бы равны:
Такая функция называется потенциальной, или силовой, а силы, которые этой функцией выражаются – силами, имеющими потенциал.
Следовательно, жидкость находится в равновесии под действием сил, имеющих потенциал. Из механики известны многие силы, имеющие потенциал. Наибольшее значение из них имеют силы тяжести и силы инерции.
3.3. Основное уравнение гидростатики. Эпюры
гидростатического давления
Это уравнение есть уравнение равновесия жидкости, находящейся под действием только сил тяжести.
В уравнении Эйлера (3.11) проекции ускорений для земных условий равны:
Х, У = 0; Z = — g.
Тогда уравнение (3.11) можно представить в виде
(3.12)
Уравнение (3.12) является дифференциальным уравнением равновесия жидкости, находящейся под действием сил тяжести. Преобразуем его. поскольку, то
, т. е. в любом случае
всегда остается величиной постоянной, но запишем ее по-иному:
= idem; (3.13)
idem – здесь и в дальнейшем употребляется только в смысле «одно и то же», т. е. имеющее одно и то же значение в рассматриваемой области (в объеме или на линии) лишь в данный момент времени, в отличие от const, означающей постоянство величины во времени. В выражении (3.13) Z – геометрический напор; — пьезометрический напор;
— гидростатический напор.
Проиллюстрируем величину рисунком 3.10.
Рис.3.10
Для точек 1 и 2 в сосуде
; (3.14)
так как Z1 – Z2=h, то
(3.15)
Уравнения (3.13), (3.14) или (3.15) называются основным уравнением гидростатики.
Вывод: потенциальная энергия в любой точке покоящейся жидкости является величиной постоянной.
Эпюры гидростатического давления есть графическое выражение закона изменения давления по глубине жидкости.
Рассмотрим несколько типовых случаев.
1. Сосуд с вертикальными плоскими стенками заполнен жидкостью на глубину h и открыт сверху, т. е. на поверхности действует атмосферное давление рат (рис.3.11).