| Неавтономные системы, параметрический генератор

(1.20)

и в емкостной трёхточке:

(1.21)

Также рассмотрим мост Вина (рис. 15), который используется для генерации в области звуковых частот.

Рис. 13. Индуктивная трёхточка.

Рис. 14. Емкостная трёхточка.

Операторное сопротивление такого генератора равно

.	(1.22)	Рис. 15. Мост Вина.
Опять подставляя уравнение для операторного сопротивления в (1.16), получим ДУ этого контура:
.	(1.23)
Все рассмотренные генераторы являются активными, нелинейными, автономными системами.

1.4. Неавтономные системы, параметрический генератор

В пункте 1.1. вводилось определение неавтономных систем, и отмечались способы воздействия на неавтономную систему. Рассмотрим на конкретных примерах силовое и параметрическое воздействия. Начнём с силового воздействия: для этого вернёмся к генератору на туннельном диоде с дополнительным источником напряжения (рис. 16), который и играет роль внешнего воздействия.

Уравнение, описывающее колебательные процессы в этом генераторе, от (1.13) будет отличаться тем, что добавится внешнее воздействие:

(1.24)

Рис. 16. Генератор на туннельном диоде.

Рис. 17. Колебательный контур.

Перейдём к параметрическому воздействию и рассмотрим контур, изображённый на рис. 17. При определённой частоте внешнего воздействия (при резонансе) возможна потеря устойчивости и возникновение колебаний с частотой кратной частоте внешнего воздействия. Опишем эту систему. В качестве обобщённых координат возьмём заряд. Для простоты также пусть Е = 0, тогда, так как u = q/C(t), уравнение колебательного контура запишется в виде:

В частном случае (если в качестве переменной ёмкости — варикап), т. е. справедлива следующая зависимость

символическое уравнение системы принимает вид:

(1.25)

Если a(t) меняется по гармоническому закону, то получится уравнение Матье, а при произвольном изменении — уравнение Хилла.

1.5. Уравнение Лагранжа для колебательных систем Вопрос 3

Уравнение движения Лагранжа удобно тем, что уравнение движения записывается в ковариантной форме, т. е. структура уравнения не меняется при переходе к другим координатам.

Любая механическая система описывается уравнением Ньютона:

(1.26)

и это самая общая форма записи (форма Коши). Известно, что, если заданы начальные условия

и ,

то решение существует и единственно.

В общем случае на уравнение накладываются связи, уменьшая количество независимых координат:

, где .

(1.27)

Если у нас есть k связей, то только n = m — k координат являются обобщёнными. Выбираем обобщённые координаты q1, …, qn так, чтобы их связь с первичными была точечной:

, где .

(1.28)

Допустим, что силы, действующие на систему, являются потенциальными, т. е. существует функция такая, что для каждой силы выполняется равенство

, где .

В этом случае для описания движения в потенциальном поле можно воспользоваться формализмом Лагранжа:

1. Выбираем обобщённые координаты q1, …, qn.

2. С помощью уравнения преобразования координат (1.28) записываем выражение для энергии через эти координаты:

3. С учётом преобразования обобщённых скоростей

(1.29)

строим выражение для кинетической энергии системы.

4. Составляем лагранжиан системы .

5. Записываем уравнение движения системы в виде:

, где .

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.