Принцип ферма

Задача 1. Параллельный пучок света c длиной волны 500 нм падает на экран с круглым отверстием диаметра d. Прошедший сквозь отверстие свет, попадает на экран для наблюдения, расположенный на расстоянии L от экрана с отверстием. Каков будет диаметр светлого пятна? Используя полученный результат, получите критерий применимости геометрической оптики.

3. Закон отражения

3.1 Принцип Ферма

Законы геометрической оптики: закон прямолинейного распространения света в оптически однородной среде, закон отражения и закон преломления света могут быть получены из принципа Ферма, который формулируется так:

В пространстве между двумя точками свет распространяется по такому пути, вдоль которого время его прохождения минимально.

Задача 2. Используя принцип Ферма, выведите закон отражения света.

Решение. Пусть свет от точечного источника S, отразившись от зеркала, попадает в точку P. Будем исходить из установленного ранее факта, что свет в однородной среде распространяется прямолинейно. Изменение направления происходит при отражении света от зеркала.

Рассмотрим произвольный ход луча SOP. Пусть угол между перпендикуляром к зеркалу OH и направлением падающего луча равен a, а угол между перпендикуляром к зеркалу и направлением отраженного луча равен b. Время между выходом из источника и достижением светом точки P равно длине ломаной SOP, деленной на скорость распространения c. Так как скорость распространения света везде одна и та же, минимальность времени прохождения траектории эквивалентна минимальности длины ломаной SOP. Таким образом, формулировка задачи об отыскании траектории минимального времени достижения точки P превращается в новую формулировку об отыскании кратчайшей траектории SOP.

Проведем геометрическое решение. Решение сводится к нахождению такого расположения точки O на зеркале, которое обеспечит минимальность длины ломаной SOP. Построим дополнительную точку S`, которая расположена симметрично точке S относительно поверхности зеркала. Из построения точки S` ясно, что длина ломаной SOP равна длине ломаной S`OP. Получаем еще одну формулировку задачи — надо найти такое положение точки O, которое обеспечит минимальность длины ломаной S`OP. Очевидно, что кратчайшее расстояние между точками S` и P — расстояние вдоль прямой, соединяющей эти точки. Искомое положение точки O находится на прямой, соединяющей точки S` и P. Из этого сразу становится ясным простое доказательство того, что падающий, отраженный лучи и перпендикуляр к отражающей поверхности лежат в одной и той же плоскости, и угол отражения равен углу падения.

3.2 Построение изображения в плоском зеркале

Дополнительная точка S`, которая использовалась при доказательстве закона отражения является ничем иным, как изображением источника S. Изображение источника расположено в его зеркальном отражении относительно плоскости отражения. Наблюдатель может увидеть изображение не из любой точки. Чтобы изображение было видимым, необходимо, чтобы прямая, соединяющая изображение и точку наблюдения, пересекала плоскость отражения. Отсюда также ясно, что между источником и его видимым изображением необязательно должна находиться отражающая поверхность.

Оптическое отражение является физическим воплощением одноименной математической операции симметрии.

Задача 3. Горящая миниатюрная лампочка находится вблизи прямого угла, образованного двумя плоскими зеркалами. Сколько изображений имеет лампочка? Постройте все изображения.

Задача 4. Луч света падает под углом a на одно из двух зеркал, образующих друг с другом прямой угол. Каково направление отраженного от системы зеркал луча?

3.3 Построение изображения в сферическом зеркале

3.3.1 Основные точки и линии сферического зеркала

Изображение предмета создается светом, отраженным от предмета, прошедшим оптическую систему и попавшим в глаза наблюдателю. Для построения изображения предмета можно пользоваться любыми из лучей, однако, изо всех лучей есть наиболее удобные для этих целей. У сферического зеркала есть несколько опорных линий и точек, используемых при построении изображения. Они показаны на рисунке 81. Во-первых, ось симметрии зеркала PP` — главная оптическая ось. Далее: центр кривизны зеркала O, точка P — полюс зеркала, точка F — фокус, он расположен на главной оптической оси зеркала на расстоянии R/2 от центра. Фокус вогнутого зеркала находится перед, а выпуклого — за зеркалом. Фокус вогнутого зеркала замечателен тем, что все лучи, идущие параллельно главной оптической оси, пересекаются в фокусе. Это свойство используется при построении изображения.

3.3.2 Построение изображения в вогнутом зеркале

Пусть AB — предмет, изображение которого следует построить (рисунок 81). Из всех лучей, которые идут из точки B и отражаются от зеркала, выберем луч BC, параллельный главной оптической оси и луч BD, проходящий через фокус. Эти лучи, а, значит, и все остальные отраженные, пересекутся в точке B`. Наблюдатель будет видеть свет, исходящий из точки B`, т. е. точка B` является изображением точки B. Точно так же можно построить изображение каждой точки тела AB (на рисунке изображение обозначено более бледно, чем сам предмет).

При построении изображения точки, лежащей на главной оптической оси, используется одна из побочных оптических осей (прямая, проходящая через полюс). Все лучи, идущие параллельно побочной оптической оси пересекаются в точке, лежащей на фокальной плоскости.

3.3.3 Формула сферического зеркала

Задача 5. Выведите уравнение, связывающее фокусное расстояние F с расстояниями от предмета и изображения до полюса зеркала a и b:
. (1)
Отдельно рассмотрите случаи: a>F; a<F. Что означает результат b<0? (Величина называется оптической силой зеркала, измеряется в
м-1 или диоптриях.)

Формула сферического зеркала (1) применима и для выпуклого зеркала. Для выпуклого зеркала F<0. При этом надо иметь в виду, что расстояние дор изображения может быть также отрицательным. Это означает, что изображение находится по ту же сторону от линзы, что и сам предмет.

Задача 6. Свеча длины h=20 см стоит в фокусе выпуклого зеркала. Определите увеличение зеркала , если F=30 см.

4. Закон преломления

4.1 Повторение содержания закона преломления

Вопрос 1. На рисунке 82 показан ход луча через границу раздела двух прозрачных сред с разными показателями преломления.
а) В какой среде показатель преломления больше?
б) Укажите какие из обозначенных на рисунке углов являются: углом падения, углом отражения, углом преломления?
в) Сформулируйте закон преломления и запишите его математическое выражение.

4.2 Полное внутреннее отражение

При падении луча на границу двух сред из более в менее плотную оптическую среду (из среды с большим в среду с меньшим показателем преломления) угол преломления оказывается больше угла падения. По мере увеличения угла падения угол преломления приближается к прямому углу. Угол падения g0, при котором угол преломления становится прямым, называется углом полного внутреннего отражения.

Задание 1. Выразите угол полного внутреннего отражения через показатели преломления сред. Как изменится формула для границы раздела среды и вакуума?

4.3 Решение задач

Задача 7. Луч света падает на границу раздела двух сред под углом 30о. Показатель преломления первой среды равен 2,4. Определите показатель преломления второй среды, если отраженный и преломленный лучи перпендикулярны друг другу.

Задача 8. В блоке оптического стекла с показателем преломления имеется наполненная воздухом полость в виде плоскопараллельной пластинки толщиной 0,2 см. Луч света падает на границу раздела стекло-воздух под углом 30о. Определите смещение луча после прохождения через воздушную полость.

Задача 9. Сечение стеклянной призмы имеет форму равностороннего треугольника. Луч света падает из воздуха на одну из граней перпендикулярно ей. Найдите угол между лучом, выходящим из призмы, и продолжением падающего луча. Показатель преломления стекла равен 1,5.

5. Домашнее задание

5.2 Решение задач

Задача 1. Человек видит свое изображение в плоском зеркале. На какое расстояние нужно передвинуть зеркало, чтобы изображение сместилось на 1 м от человека,

Задача 2. Отражающая поверхность зеркала составляет с плоскостью стола угол 1350. По направлению к зеркалу катится шар со скоростью
2 м/с. В каком направлении и с какой скоростью движется изображение шара?