| Вынужденные колебания в консервативной нелинейной системе

Рис. 27. Семейство нормированных резонансных кривых для разных значений добротности Q0.

Рис. 28. Зависимость фазы напряжения на сопротивлении R от расстройки.

Исходя из операций с комплексными амплитудами, легко получить выражения для напряжений на всех элементах рассматриваемого колебательного контура. Для комплексной амплитуды напряжения на конденсаторе получаем

Соответственно, фаза напряжения на конденсаторе сдвинута относительно фазы напряжения на резисторе на —p/2. Резонанс напряжения на ёмкости получается при , т. е. при более низкой, чем w0 частоте w1.

Для комплексной амплитуды напряжения на индуктивности получаем

Фаза напряжения на индуктивности сдвинута относительно фазы напряжения на резисторе на p/2. Резонанс напряжения на индуктивности достигается при , т. е. на более высокой, чем w0 частоте w1. Нужно отметить, что для достаточно высокой добротности контура эта разница частот резонанса напряжений на резисторе, конденсаторе и индуктивности несущественна. Все три максимума совпадают только при Q0 ® ¥.

4.2. Вынужденные колебания в консервативной нелинейной системе при гармоническом силовом воздействии, гармонический баланс Вопрос 10

При воздействии гармонической силы на линейную систему в ней, как хорошо известно, возникает гармонический вынужденный процесс с частотой вынуждающей силы и с амплитудой, определяемой параметрами системы, частотой и внешней силой. В частности, при совпадении частоты воздействующей силы с частотой свободных колебаний системы (при w1 = w0) в ней, при отсутствии потерь (консервативная система), возбуждается бесконечно нарастающий вынужденный колебательный процесс, соответствующий наступлению резонанса. Однако, если по-прежнему рассматривать консервативную, но нелинейную систему, то вследствие возможной неизохронности при возникновении в ней колебаний условие резонанса с изменением амплитуды колебаний может измениться, и в этом случае мыслимо установление конечной амплитуды вынужденного колебания при любой частоте воздействия. К нелинейным системам неприменим метод комплексных амплитуд, поэтому анализ вынужденных колебаний в таких системах часто проводят методом гармонического баланса.

В общем случае консервативная нелинейная система второго порядка, находящаяся под силовым воздействием, описывается функцией

(4.3)

Будем считать, что нелинейность слабая, и в качестве основного приближения рассмотрим решение .

Рис. 29. Графическое определение амплитуды вынужденных колебаний в нелинейной системе.

Рис. 30. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты воздействия в системе с "жёсткой" нелинейной возвращающей силой.

Подставим решение в (4.3)

(4.4)

Если нелинейность не слишком велика, положим f(acos(w1t)) = f(a)cos(w1t). Так как (4.4) должно удовлетворяться при любых значениях аргументов, то необходимо потребовать, чтобы

(4.5)

Решение этого уравнения удобно получить графически (рис. 29). Строя заданную функцию z = —f(a) и прямую , мы в точке их пересечения получим искомое решение a, т. е. найдём амплитуду приближенного гармонического решения. Для разных P и w1, т. е. для различных амплитуд и частот воздействия, можно найти значение a и построить соответствующие кривые a(w1) для различных P, т. е. построить некоторый аналог резонансным кривым для резонанса в линейных системах.

Для f(а), имеющей характер, показанный на рис. 29, эти кривые a(w1) имеют вид, изображенный на рис. 30, где показаны три такие кривые, соответствующие трем значениям P(P1>P2>P3). При P = 0 получим кривую, изображенную штриховой линией; она соответствует собственной частоте свободных колебаний w изучаемой системы при различных амплитудах и называется скелетной кривой. Рассматривая характер полученных резонансных кривых, мы замечаем следующее: при частоте воздействия w1, меньшей частоты свободных колебаний w0, в системе всегда происходит однозначно определяемое колебательное движение с амплитудой, зависящей от величин P и w1. Когда в процессе своего изменения w1 становится больше w0, то, начиная со значения w1 > w0, в системе, кроме существовавшего ранее движения, оказываются возможными еще два колебательных процесса с различными амплитудами. При этом амплитуда исходного вынужденного процесса с ростом w1 продолжает расти (область А), амплитуды же двух вновь появившихся решений изменяются так, что одна из них растет с ростом w1 (область С), другая уменьшается (область В). Линия раздела этих областей показана на рис. 30 штрих-пунктирной кривой, и она проходит через точки амплитудных кривых с вертикальными касательными. Таким образом, если для заданной амплитуды P воздействующей силы ее частота w1 изменяется, начиная с малых значений до любых сколь угодно больших значений и обратно, мы получим однозначное решение, соответствующее одной из ветвей резонансной кривой в области А. Отметим, что колебания в областях А и В для одной и той же амплитуды внешней силы P отличаются друг от друга по фазе на p.

Если же рассматривать поведение амплитуды вынужденного движения, начиная с больших значений w1, то мы будем двигаться по ветви резонансной кривой в области В в сторону уменьшения w1 и роста a до той точки, где касательная к резонансной кривой станет вертикальной. Дальнейшее уменьшение w1 может сопровождаться лишь скачком амплитуды вынужденного колебания а на ветвь кривой в области А (показано стрелкой) и дальнейшим изменением а в соответствии с формой этой части резонансной кривой. Таким образом, мы не обнаружили естественного хода процесса, при котором система оказалась бы на ветви резонансной кривой в области С. Это согласуется с тем, что строгий анализ особенностей всех трёх типов решений показывает неустойчивость движений, соответствующих области С, в отношении любых сколь угодно малых вариаций параметров.

Правда, не следует придавать слишком большого значения сделанным выводам о вынужденных колебаниях при больших а и сильных уклонениях w1 от w0, так как в этих условиях действительное движение может значительно отличаться от гармонического и допущения, положенные в основу построения рассмотренной картины резонансных кривых, станут несправедливыми не говоря уже о расхождениях, связанных с заменой реальной системы консервативной.

Рассмотрим теперь ту же задачу приближенным аналитическим способом, методом гармонического баланса.

Для исследуемой системы, находящейся под гармоническим воздействием, используем уравнение (4.3). Задавшись гармоническим решением

(4.6)

получаем для P = 0

(4.7)

где f(acos(wt) + bsin(wt)) — периодическая функция с периодом 2p/w. Таким образом, её можно разложить в ряд Фурье

Оставляем только первую гармонику, тогда

Так как выражение должно выполняться для любого момента времени, то коэффициенты при cos(wt) и sin(wt) равны нулю, т. е. w2a = a1, w2b = b1.

Для свободных колебаний оба уравнения совершенно идентичны, так как, ввиду произвольности выбора начала отсчёта времени, значение x может быть с равным успехом выражено через cos(wt) или sin(wt) и их комбинацию. Коэффициенты a1 и b1 определяются из соотношений для нахождения коэффициентов ряда Фурье

(4.8)

Отсюда частота собственных колебаний

где t = wt.

Для примера рассмотрим колебания в резонансном контуре. Напряжение на конденсаторе меняется по следующему закону u = q(1 + e q2)/C0. Выбирая в качестве обобщённой координаты x заряд на конденсаторе, получим

Примем начальные условия в виде b = 0, тогда

Выражение для неизохронной частоты приобретает вид

(4.9)

Найденное выражение для частоты свободных колебаний несколько отличается от выражения (2.15), полученного при использовании метода последовательных приближений для контура с нелинейной ёмкостью. Однако с точностью до членов с более высокими степенями 3/4 ea2 эти два выражения приводятся одно к другому, а различие, существенное при не слишком малых значениях ea2, связано с тем, что в методе последовательных приближений мы используем не чисто гармоническое решение, а учитываем наличие высших (например, третьей) гармонических составляющих.

Для конденсатора с квадратичной нелинейностью, характерной для варикапа, в уравнении (4.3) следует взять

В этом случае получится w = w0, так как метод гармонического баланса, как и метод ММА, является приближением первого порядка.

Возвращаясь к анализируемой задаче, рассмотрим теперь случай действия внешней силы на систему, т. е. P ¹ 0. Тогда, отыскивая решение с частотой внешней силы в нашем приближении, положим

(4.10)

и введём обозначение w1t = t. Из (4.3) и (4.10) следует, что

Разлагая функцию — f(acost + bsint) в ряд Фурье, и пренебрегая по-прежнему в рамках гармонического баланса высшими гармониками фурье-разложения, получим уравнения

; .

(4.11)

Здесь, как и раньше a1 и b1 ищем по формулам (4.8). Используя эти соотношения, находим

(4.12)

Второе из этих уравнений может удовлетворяться только при b = 0, тогда из первого уравнения получаем

Здесь w(a) — частота свободных колебаний. Если эта зависимость известна, например, из формулы (4.9), можно найти зависимость a(w1, P) амплитуды вынужденных колебаний от частоты и амплитуды внешнего воздействия.

4.3. Генерация высших гармоник Вопрос 11

Явление, когда появляются высшие гармоники при гармоническом воздействии на нелинейную систему, называется генерацией гармоник.

Рассмотрим, например, колебания в нелинейной консервативной системе с конденсатором с сегнетоэлектриком при достаточно большой амплитуде гармонического воздействия, причём собственная частота малых свободных колебаний системы близка к утроенной частоте воздействия. Для конденсатора с сегнетоэлектриком

Уравнение (4.3) будет в этом случае иметь вид:

, где .

(4.13)

При большой нелинейности нельзя предполагать, что решение близко к гармоническому. Можно ожидать появления высших гармоник. Мы допустили, что есть третья гармоника, т. е. если w1 — частота внешнего воздействия, то w1 » w0/3. В этом случае можно ограничиться только первой и третьей гармониками и искать вынужденные колебания в виде

тогда получается

Оставляя в разложении f(q) в ряд Фурье только члены с cost и cos3t и приближенно положив — f(q) = a1cost + a3cos3t, получим систему двух уравнений

; .

(4.14)

Для выбранного вида нелинейности имеем

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.