Растяжение и сжатие

Разбиваем стержень вдоль его длины на участки, определяемые точками приложения сил: первый участок 1–2, второй – 2–3.

Применим метод сечений (РОЗУ) – рассекаем стержень в произвольном сечении I−I на первом участке, отбрасываем верхнюю часть. Действие внутренних силовых факторов заменяем равнодействующей силой в сечении (рис. 6б).

Уравновешивание рассматриваемой части стержня показывает, что продольная сила (согласно уравнению (1.1)) равна

и направлена от сечения. По правилу знаков в сопротивлении материалов продольная сила считается положительной, если она направлена от сечения (рассматриваемый участок стержня работает на растяжение). Если бы продольная сила была направлена к сечению, то она считалась бы отрицательной (рассматриваемый участок стержня работает на сжатие).

Поскольку сечение I−I на первом участке было выбрано произвольно, продольная сила по длине стержня на этом участке будет постоянной.

Рассматривая аналогично сечение II−II (рис. 6в), находим продольную силу на втором участке:

.

Аналогично первому участку, продольная сила на втором участке постоянна.

По полученным значениям продольных сил строим график зависимости – эпюру продольных сил, показанную на рис. 6г.

2.2. Определение напряжения

Если на поверхности призматического стержня нанести сетку линий, параллельных и перпендикулярных оси стержня (рис. 7а), и приложить к нему растягивающую силу (рис. 7б) , то можно убедиться в том, что линии сетки после деформации останутся взаимно перпендикулярными.

Можно предположить, что и внутри стержня будет такая же картина, т. е. поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к его оси до деформации, останутся плоскими и нормальными к оси и после деформации. Эта гипотеза называется гипотезой плоских сечений или гипотезой Бернулли. Формулы, полученные на основе этой гипотезы, подтверждаются результатами опытов.

Такая картина деформаций позволяет считать, что в поперечных сечениях стержня действуют только нормальные напряжения, равномерно распределённые по сечению, а касательные – равны нулю.

Продольная сила – равнодействующая нормальных напряжений в поперечном сечении:

. (2.1)

Так как (по гипотезе Бернулли), то

, (2.2)

откуда

, (2.3)

где А – площадь сечения стержня.

Эта формула справедлива и при сжатии, с той лишь разницей, что сжимающее напряжение считается отрицательным.

2.3. Определение деформаций. Закон Гука

Анализ деформации стержня при растяжении (рис. 7) показывает, что весь стержень удлинится на ∆l = l1 – l (абсолютная деформация), а его поперечные размеры уменьшатся на ∆b = b1 – b (абсолютное сужение). Поскольку поперечные сечения остаются параллельными друг другу и после нагружения, то относительная продольная деформация:

. (2.4)

Относительная деформация – величина безразмерная (иногда задаётся в %).

Закон Гука, вытекающий из гипотезы упругости (физической связи между напряжениями и деформациями), в случае растяжения (сжатия) стержневого элемента имеет вид:

, (2.5)

где Е − модуль упругости материала (первого рода), или модуль Юнга – характеризует упругие свойства материала; определяется опытным путём.

Из (2.5) с учётом (2.3) относительная продольная деформация равна:

. (2.6)

Величина ЕА – жёсткость стержня на растяжение (сжатие).

Абсолютная поперечная деформация , а относительная

. (2.7)

Эксперименты показывают, что отношение величин поперечной деформации к продольной ε для изотропных материалов практически постоянно и оценивается коэффициентом Пуассона (физическая характеристика материала – коэффициент поперечной деформации):